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数学たん@suugakutan

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2017年05月14日(日)

suugakutan

数学たん @suugakutan

dim[V+W]=dimV+dimW-dim[V∩W]を示そう.AがV∩W,A⊎BがV,A⊎CがWの基底になるようとる.ΣαiAi+ΣβiBi=ΣγiCiという方程式を考える.左辺∈V,右辺∈Wより両辺∈V∩W.∴独立よりβ=γ=α=0∴A⊎B⊎Cは線形独立.よって示された.

18:51:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

空間Uの次元はdimU=max{cardS|S⊂U,Sは線形独立}とも言える.これを用いて,有限次元空間Uとその部分空間Vについて,dimU=dimV ⇒ U=V を示して.

18:18:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

空間の基底の濃度をその空間の次元というんだけど,これはwell-def?つまり,基底は全部濃度が等しいの?背理法でやってみよう.

16:46:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

ベクトル空間Vについて,その線形独立な部分集合の集合をIとする.(I,⊂)はZornの補題の仮定を満たすので極大元Sが存在.そこでSをVの基底という.この時V=spanSとなり,かつv∈Vに対しv∈spanSを示すときのspanする係数が一意なのは重要な性質.証明できる?

16:02:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

V,WがUの部分空間である時,V∩WはUの部分空間になる.ベクトル空間の公理に当てはめて確認して.じゃあ,V∪Wは?これは反例は簡単に見つかるね.そこでV∪Wを含む最小のベクトル空間をV+Wと書き,VとWの和と呼ぶ.これがV+W={v+w|v∈V,w∈W}であることを証明して.

15:33:01
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数学たん @suugakutan

Sが線形従属⇔Sのある元が他の元の線形結合で表せる.
“⇒”はαx+βy+…+γz=0 ⇒ x=(-β/α)y+…+(-γ/α)z,
“⇐”はx=βy+…+γz ⇒ (-1)x+βy+…+γz=0.

15:19:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

n=card{x,y,…,z}とする.ax+by+…+cz=h の形をした方程式をn元線形方程式という.特にh=0を線形同次方程式という.n-1個の式からなるn元線形同次連立方程式には非自明解があることを確認して.n-1成分の数ベクトルn個の集合が線形従属であることを確認して.

14:14:00
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数学たん @suugakutan

ξ,η,…を変数,p,q,…を定ベクトルとする.方程式pξ+qη+…=0が自明解以外の解を持つ時,鞄{p,q,…}は線形従属であるという.線形従属でない事を,線形独立という.線形独立の意味は,例えば3次元での3本のベクトルなら,それらすべてと原点を通る平面が存在しない意味.

14:12:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

ξ,η,…を変数,p,q,…を定ベクトルとする.pξ+qη+…=0という方程式を解こうとすると,明らかにξ=η=…=0はこれを満たす.この解を自明解と呼ぶ.ベクトルが3次元数ベクトルなら,今の方程式は連立方程式と同じ.各式は平面,解はそれらの交点,自明解は原点という意味になる.

13:49:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

(K,+,*)を体とする.α∈K,(a;b;c),(l;m;n)∈K^3に α*(a;b;c)=(α*a;α*b;α*c),(a;b;c)+(l;m;n)=(a+l;b+m;c+n) という演算を入れると,ベクトル空間を形成する.確認してみて.これを3次元の数ベクトル空間という.

13:33:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

ベクトル空間を基礎にする空間は多い.そこ上で線形写像を考える線形代数は様々な分野の基礎になっている.ところで,関連する投稿ではスカラーをギリシア文字,ベクトルをローマ字の後半,となるべく統一しようと思う.あと,ベクトルの加法の記号を体の加法と同じ記号を用いるなどする.

13:17:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

体(K,+,0,*,1),可換群(V,+,0)があり,*:K×V→Vが定義されていて
∀a,b∈K;∀u,v∈V;
a*(u+v)=a*u+a*v,
(a+b)*u=a*u+b*u,
a*(b*u)=(a*b)*u,
1*u=u
なる時,これをスカラーK上のベクトル空間Vと呼ぶ.

13:10:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

点(p;q)と直線ax+by+c=0の距離は,(x;y)=1/√(aa+bb)(b,a;-a,b)(u;v)と正規直交座標変換(距離不変)し,v=-c/√(aa+bb)と1/√(aa+bb)(bp-aq;ap+bq)の距離なり,|ap+bq+c|/√(aa+bb)と導くと簡単.

12:45:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

文章題では,お湯を張りながら抜くなど意味分からない行為をすることがあるね.そのシュールさを笑っても,作問者を嗤うのはやめよう.作問者がキレたら"蛇口から水が浴槽に"じゃなくて"点πが空間に存在し流体1が領域iに"とか想像しにくいどころか名前空間を襲いにかかる問題出してくるかも.

12:35:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

twitter.com/suugakutan/sta… ψの変換をゲージ変換という.特にdivA=-φ̇/c²を選ぶと,他のMaxwellは□φ=-ρ/ε₀,□A=-μ₀Jに帰着.解はφ₂[t]=(1/4πε₀)∫(ρ₁[t-|r₁₂|/c])/|r₁₂|*dV₁.影響は光速なんだね.

12:04:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

twitter.com/suugakutan/sta… 値は?そう,これは真空中の光速度に等しい!光が波である根拠だ.ところで,divB=0,rotE=-Ḃより,B=rotA,E=-Ȧ-gradφなる場の存在がわかる.これを電磁ポテンシャルという.またA+∇ψ,φ-ψ̇しても満たす.

12:02:00
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数学たん @suugakutan

twitter.com/suugakutan/sta… これの解として, E=a*cos(k・r - ωt),H=b*cos(k・r - ωt) ただし k²=ε₀μ₀ω²,a⊥k,b×k=ε₀ωa を確認してほしい.これは電磁波の式だ.またその速さ√(1/ε₀μ₀)を計算してみて.

11:23:00
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数学たん @suugakutan

電荷の存在しない真空では,Maxwellの方程式は以下のようになる. divE=0 divH=0 rotE=-μ₀Ḣ rotH=ε₀Ė これを弄ると,□=△-ε₀μ₀*∂²/∂t² という演算子(d'Alembert演算子という)を用いて □E=□H=0 が出る.波動方程式.

11:10:01
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数学たん @suugakutan

磁場や電束密度を入れると,Maxwellの方程式は以下のようになる. divB=0 divD=ρ_t rotE=-Ḃ rotH=J_t+Ḋ さて,E-H対応(D→B,ε₀→μ₀)に思える?でも式の意味を考え新たに,E-B対応(D→H,ε₀→1/μ₀)を考え構築してみて.

08:42:00
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数学たん @suugakutan

電場のD=εE+P,ε=(1+χ)ε₀,ρ_t=ρ+ρ_Pに対応し,磁場のB=μH+M,μ=(1+χ)μ₀,J=J_t+J_mという式も成立.この新たなHは電場,Mは磁化,μは透磁率,χは磁化率,1+χは比透磁率,J_t=J_D-Ṗは真電流密度,J_mは磁化電流密度という.

08:06:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

分極Pは,十分小さければ電場Eに比例するので,P=χε₀E というように書ける.このχを電気感受率といい,物質の定数になる.ただし,物質によっては数でなくテンソルになる.これを使うとD=(1+χ)ε₀Eだね.(1+χ)を比誘電率といい,ε₀(1+χ)を誘電率といい単にεと書く.

07:41:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

分極で動いた電荷を分極電荷という.分極電荷密度ρ_Pは divP=-ρ_P となることはわかるだろう.しかし分極電荷まで計算するのは面倒.そこで真電荷密度 ρ_t = ρ - ρ_P ,電束密度 D=ε₀E+P という量を定義する.これが divD=ρ_tになるのは簡単だね.

06:28:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

絶縁体は,電場にあたった時,導体ほどではないが僅かに電荷分布を変える.これを分極という.分極の様子は分極ベクトルPという量で表される.Pは絶縁体の各点に定義され,そこでの電荷の通った方向を向き,そこを単位面積当たりに通過した電荷量の大きさを持つ.よって単位はC/m².

06:24:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

変位電流まで考えて,電磁気学で最終的に成立する式は以下だ.
divE=ρ/ε₀
divB=0
rotE=-Ḃ
rotB=μ₀*J+ε₀*μ₀*Ė
これをMaxwellの方程式という.
また,Lorentz力 F=qE+qv×B も忘れてはならない.

05:19:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

Faradayは,回路2つの片方に電流を流すと他方にも流れるのを発見した.これは,電流で発生した磁束密度で他方に電場が出来たのが原因で,前半の式はrotB=μ₀*J,後半部分の式は新たにrotEi=-Ḃで説明される.この電場Eiを誘導電場,最終的にE=Ec+Eiを電場という.

03:52:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

静電場(定常電流なので時間的に変化しない電場)において,B₂=μ₀/4π*∫ J₁×r₁₂/|r₁₂|³ dV₁ だった.なんと,A=μ₀/4π*∫ J₁/|r₁₂| dV₁ とすると,AはBのベクトルポテンシャル(rotA=B)になる.計算すると良い.ゆえにdivB=0.

02:45:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

ある質点の電荷q,速度v,そこにおける磁束密度B.この質点にはクーロン力の他にLorentz力 F=qv×B が働くんだけど…おかしくない?慣性系1と,等速度で動く別の慣性系2では質点の速度は異なり力は等しいという事と矛盾してるようだよね.そう,この疑問こそ相対性理論の始まりだ.

02:44:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

Biot-Savartの法則で遊んでいると,CをSの境界として ∫_C B・dr = μ₀*∫_S J・dS が導かれる.これをAmpèreの法則という.微分形では rotB = μ₀*J と書けるね.導き方は, ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%93… が一番簡単かな.

02:25:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

位置ベクトルr,面積ベクトルdSの微小面Sの立体角dωを求めよう.相似比1/|r|でSをO中心に縮小したS'は立体角同じだね.S'は位置ベクトルr̂,面積ベクトルdS/r².球面への射影はその面積ベクトルの球面ベクトルへの射影であるのでdω=dS/r²・r̂=r/|r|³・dS.

02:06:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

立体角の記号はωで,単位はsteradian.曲線を見る立体角はωと4π-ωの2通りになっちゃうのはわかるかな?平面角がθと2π-θなのと同じだよ.また,点Oが面Sを見る立体角は,OがSの境界を見る立体角で良いのだけど,ちゃんと見てる感じのほうを選ぶようにしよう.

01:54:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

J̇=0,divJ=0 となるような電流を定常電流という.定常電流が流れている時,微小領域dV₁が点2につくる微小磁束密度はdB₁₂ = (μ₀/4π)*(J₁×r₁₂/|r₁₂|³)*dV₁ (Biot-Savartの法則).ここでμ₀は真空の透磁率という定数.

01:28:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

真空の透磁率の値は, μ₀ = 4π*10^-7 (H/m).これは偶然近い値になってる訳じゃなくて,単位の定義から必然的にこうなっている.その定義とは…「真空中に無限長直線導体2本を1m間隔で平行に配置し個々に1Aの定電流を流すと2*10^-7(N/m)の力を及ぼし合う」.

01:26:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

クーロン力とか基本的な量らしいと思うのに係数が1/4πε₀ と複雑で不思議じゃない?これはGaussの法則とかのためにそうしているんだよ.その値はε₀≒8.85*10⁻¹² F/mで,また 1/ε₀≒1.13×10¹²,1/4πε₀≒8.99×10⁹.

01:07:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

I=∫_S J・dS を,Sを通過する電流という.単位時間にSを正向きに通過する正電荷量を表し単位はA.さてここでSに閉曲面を取ってみよう.IはS中から出て行く正電荷量なのでS中の電荷量QとしてI=-Q̇になることは容易にわかるよね.これに発散定理を使うとdivJ=-ρ̇ だね.

00:54:00

2017年05月13日(土)

suugakutan

数学たん @suugakutan

電荷は流れる.電流だ.電流の様子を記述する量は,電流密度Jが良い.Jはその点での正電荷の流れる向きをもち,単位時間に単位面積を通過する電荷量の大きさを持つベクトル.Jの単位はC/m²sになるのがわかるよね.でも普通はC/sをA(読みはampere)としてA/m²と書く.

23:17:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

電荷/体積密度はρと書く.単位はC/m³.電荷の分布が連続的なものであるなら,電荷qより本質的な量になる.他の量の体積密度もだいたいρと書くことが多いね.また面積密度はσと書くことが多い.無限広の電荷/面積密度σの平面がつくる電場の大きさはσ/2ε₀ になることはよく使う.

22:53:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

電気力線に頼らずGaussの法則を証明しよう.重ね合わせより,点電荷1個が外に1つある場合と中に1つある場合を証明すれば良い.前者は発散定理から明らか.後者もS中の適当な球面を取って外向きPとし,Pには普通に計算,S∪内向きPには前者の議論を適用し,それらの和を取りできる.

22:34:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

電気力線の話から,閉曲面Sで電場を面積分した ∫_S Ec・dS はS内の電荷量Qに比例することがわかるかな.これは ∫_S Ec・dS = Q/ε₀ となる.Gaussの発散定理を使うと,div Ec = ρ/ε₀ とも書ける.この法則をGaussの法則と言う.

22:01:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

電場の大きさは,源からの距離の2乗に反比例する.となると,源からの距離の2乗に比例する量との積は保存される.その量として源を中心とする球の表面積を使おう,源を中心とする球の表面を貫く電束の本数は距離から独立.故に貫いてる電束を少しずつまとめて電気力線として描くとうまい具合になる.

21:28:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

力と力の合力は普通にベクトルの和なので,そこから電荷を割ることで考え出されるクーロン電場も,さらにその積分によって考え出される電位も,いずれも導出方法が線形演算子のそれなので,2場の合わさったものは普通にベクトルやスカラーの和で求められる.このことを,重ね合わせの原理という.

21:13:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

国際的単位系(SI)というものがある.国際的な単位はこれに則っている.これはs,m,kg,A,K,mol,cdを基本単位とする単位系で,他のVとかNとかはこの組み合わせで定義されることになる.AよりCのほうが基本的な単位だろうけど測りにくいのでAを基本単位としているというね.

21:01:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

クーロン電場Ec₁₂=(1/4πε₀)*(q₁/|r₁₂|³)*r₁₂ にはスカラーポテンシャルが存在する.無限遠で0になるのを選び,Vc₁₂ = (1/4πε₀)*(q₁/|r₁₂|).これは電位と呼ばれる.単位はVoltで,Vと書く.電場の単位はV/mやN/Cとできるね.

20:58:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

Fc₁₂=(1/4πε₀)*(q₁*q₂/|r₁₂|³)*r₁₂を場で考える.場の向かう質点の電荷によって場が変化する訳にはいかないので,Ec₁₂=(1/4πε₀)*(q₁/|r₁₂|³)*r₁₂とし,これをクーロン電場とする.Fc₁₂=q₂*Ec₁₂.

20:14:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

質点には質量同様に電荷というものを持つ.単位はcoulombでCと書く.電荷はqと置かれることが多い.電荷1,2がある時,クーロン力 Fc₁₂ = (1/4πε₀)*(q₁*q₂/|r₁₂|^3)*r₁₂ が働く.ここでε₀は真空の誘電率という定数.

19:15:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

虚数のiと愛をかけたオサレなダジャレなんかに,私は惑わされない!数学がそんなこと言ってる訳が無いんだから!やっとここまで来れたのに,それでも数学の中でも愛に追われるなんて絶……い,いや,なんでもない.えっと,数学ダジャレなら,一番おもしろいのは「無限蒋介石」かな.

18:28:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

素数判定用定理どうぞ.b≡0modaをb⊃aと書いた.
n⊃2⇔nの1桁目⊃2
n⊃3⇔nの各桁の総和⊃3
n⊃5⇔nの1桁目⊃5
10a+b⊃7⇔a-2b⊃7
n⊃11⇔nの奇数桁の総和-nの偶数桁の総和⊃11
10a+b⊃13⇔a+4b⊃13
10a+b⊃17⇔a-5b⊃17

18:23:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

Γ関数は,Γ[x]=∫_0^∞(t^(x-1)*e^(-t))dtなる関数で,階乗の拡張でありn∈NについてΓ[n+1]=n!が成立(グラフのためにnでなくn+1としている).これが漸化式Γ[x]=(x-1)Γ[x-1],Γ[1]=1を満たすことは高校生レベルで示せるよ.

18:06:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

円に内接する4角形の重要な性質、覚えてる?対角の和が180°って性質よ(*´∀`)これを証明…は?余弦定理使う?何言ってるの?余弦定理から導けるなら導いてみてよ.何?正弦定理の間違いでしたって?正弦定理でも駄目だよ?正弦定理の証明で円周角の定理使ったの覚えてないの???????

17:51:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

無限降下法は,存在しないことを示す証明の方法.条件P[x]を満たすxが範囲Dの下の方では有限個しかないことがわかっている前提の証明で,{x∈D|P[x]}が空でないと仮定し最小元mをとるとその結果mより小さい{x∈D|P[x]}の元の存在が示されることから矛盾を導く.

17:14:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

nCrとかnPrとか数え上げ理論について迷いがあるなら,これをやってみて. togetter.com/li/504304

17:11:01
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