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数学たん@suugakutan

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左全域的かつ右一意的な関係は,始域のすべての元に終域の元をただ1つ与えるね

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2017年04月20日(木)

suugakutan

数学たん @suugakutan

左全域的かつ右一意的な関係は,始域のすべての元に終域の元をただ1つ与えるね.つまり関数だね.逆関係が逆関数の一般化,関係の合成が関数の一般化なのを確認して.また更に,右全域的な関数が全射,左一意的な関数が単射なのを確認して.全単射と一対一対応が同義なのが感じられるね.

03:30:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

関係Rについて,∀x,w∈domR;∀y∈codR; xRy,wRy ⇒ x=w なる時,Rは左一意的という.∀y,z∈codR;∀x∈domR; xRy,xRz ⇒ y=z なる時,Rは右一意的という.左一意的かつ右一意的な関係は,一対一という.

02:40:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

関係Rについて,∀x∈domR;∃y∈codR; xRyなる時,Rは左全域的という.∀y∈codR;∃x∈domR;xRyなる時,Rは右全域的という.左全域的かつ右全域的な関係を,対応という.

02:19:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

関係Rについて,R(dom R)を Im R や ran R と書き,Rの値域と呼ぶ.また,R⁻¹(cod R)をRの定義域と呼ぶ.

01:53:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

関係(X,Y,R),(Y,Z,S)について,T={(x,z)|∃y;xRy,ySz} とし,(X,Z,T)をRとSの結合といい,S○RとかR;Sと書く.

01:39:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

関係(X,Y,R)について,xRy⇔ySxなるよう関係(Y,X,S)を定めた時,SをRの逆関係といいR⁻¹と表す.逆像は,逆関係による像として定められる.

00:06:01

2017年04月19日(水)

suugakutan

数学たん @suugakutan

関係R=(X,Y,G)では,よくRとGを同じ記号にしてしまう.つまり,関係(X,Y,R)と言ってしまう.また(x,y)∈RをxRyと書く.またこの関係についてdomR=X,codR=Yと書く.また,A⊂Xについて,AのRによる像をR(A)={y|∃x∈A;xRy}で定める.

23:41:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

関係を定義しよう.集合X,集合Y,その直積X×Yの部分集合Gがある時,R=(X,Y,G)は,Xを始集合(domain),Yを終集合(codomain),Gをgraphとする二項関係であるという.関係はかなり一般化されたもので,グラフも,関数も,不等号とかもこれの一種なんだ.

23:13:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

力FにスカラーポテンシャルUが存在する(F=-∇U)時,UをFについての位置エネルギーと言う.そしてFは保存力であるという.それに従った運動ならば力学的エネルギー保存則が成り立つから保存力.

22:44:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

ベクトル場の線積分には,経路を描く微小ベクトルと内積を取りながら積分していくことになる.ベクトル場Fを経路上点AからBまで線積分することを∫_(A→B)F・dr = ∫_(A→B)F・(dr/dt)*dt で定義することになる.経路に名前Cがあるなら∫_C F・dr と書く.

22:32:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

曲線上での場の積分を線積分という.スカラー場Fならその曲線上のパラメータをsとしてAからBまでの線積分を∫_(A→B)F*dsと書く.適当な媒介変数tを用いて∫_(A→B)F*(ds/dt)*dtと計算することになる. 例えば直線上線積分∫_(O→(3;3))|r|ds=9.

22:30:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

ベクトル場F,スカラー場φが,F=-∇φ なる時,φはFのスカラーポテンシャルであるという.連続でも,スカラーポテンシャルが存在するとは限らないの.なぜマイナスかって?ポテンシャルの大きいほうが良く力が出るというイメージを表現するため.

22:16:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

勾配(gradient)という作用素がある.これは,grad:{スカラー場}→{ベクトル場} で,grad φ = ( ∂φ/∂x; ∂φ/∂y; ∂φ/∂z ) と定義されるんだけど,∇φとも書かれる.イメージはまさに勾配で,その点の接線ベクトルになる.

22:08:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

twitter.com/suugakutan/sta… ここからrankA^t=rankA を示してみて.結果rankは各行の線形結合の次元ともなる.ちなみにrankは,有限次元について単射⇔rank=dimdom,全射⇔rank=dimcod と重要.

20:07:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

ker A∋x ⇔ Ax=0 ⇔ ∀i; ΣA_ij*x_j=0 ⇔ Aの各行の転置とxが直交.しかも,Im A=Aの各列の線形結合 と同様に,Im A^t=Aの各行の転置の線形結合だから,与式⇔(Im A^t)^⊥∋x となり, ker A = (Im A^t)^⊥.

19:30:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

実行列Aが,A^t=-Aなら交代行列,複素行列AがA^✝=-Aなら歪Hermite行列という,任意の実正方行列Aは,B=(A+A^t)/2,C=(A-A^t)/2によって対称行列と交代行列の和に分解される.一意性はある?

17:38:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

実行列AがA=A^tなら対称行列,A⁻¹=A^tなら直交行列という.複素行列AがA=A^✝ならHermite行列,A⁻¹=A^✝ならユニタリ行列という.直交行列やユニタリ行列の各列ベクトルの鞄が正規直交なのを確認して.

17:37:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

複素行列A=(A_ij)について,A̅=(A̅_ij)を共役行列,A^✝=A̅^t=(A̅_ji)を随伴行列という.これを用いると,複素数ベクトル内積が u・v = u^✝ v となることを確認して.

16:54:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

実行列A=(A_ij)について,その転置がA^t=(A_ji)と定義される.対角成分について線対称に移動したものとなる(対角成分とは,行の番数と列の番数が等しい成分).(AB)^t=B^tA^t,(A^t)⁻¹=(A⁻¹)^t,実数ベクトル内積u・v=u^t v を確認して.

16:19:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

m×n型行列Aを考えよう.Im A=A(V^n)=span{Aの各列ベクトル} これをわかってくれるかな.その結果,rank A=dim span{Aの各列ベクトル}=max { card S | S⊂{Aの各列ベクトル},Sは線形独立 } となるね.

15:36:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

twitter.com/suugakutan/sta…
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右零因子でも同様で,Oでなく零因子でもないものは全単射を表現することになり,正則行列となる.その結果として,正方行列は零行列と零因子と正則行列に類別される.

15:14:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

AがOでなく左零因子にならない時,B≠0⇒AB≠0.B=X-YとするとX≠Y⇒AX≠AY.ゆえにAは単射を表現する.ところでV^n間の線形写像fが単射の時,退化次元定理よりdim Im f = n.しかもIm f⊂cod fなので,Im f = V^n.ゆえにfは全射となる.

14:38:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

正方行列における逆元を逆行列という.任意の正方行列が逆行列を持つ訳じゃないことは分かるよね.逆行列を持つ条件は,その行列が表現する関数が全単射であることだ.そんな行列を,正則行列という.正則行列が零因子にならないことを証明して.(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹を示して.

13:31:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

環(R,+,0,×,1)について,a,b∈Rについてa,b≠0ながらab=0なら,aをbの左零因子,bをaの右零因子という.さらにba=0なら可換零因子という.零因子を持たない環を整域という.体ならば整域を示して.

13:23:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

n×n型行列をn次正方行列という.それ全体の集合を考えよう.和や積は閉性を満たす.零元はO=(0),(A_ij)の補元は(-A_ij),単位元はI=(δ_ij).(ここでδはKroneckerのδといい,δ_ij=[i=j] (Iversonの記法))とすると非可換環になる.

13:16:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

m行n列行列を,m×n型行列ともいう.要素が実数なら,それ全体をℝ^(m×n)と書く.スカラーを1×1行列,縦ベクトルを1列行列と見なし,その行列の積が,スカラーとベクトルの積や行列とベクトルの積と等しくなることを確認して.また,横ベクトルというのは,1行行列として定義される.

13:08:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

行列同士の積は,l行m列行列Aとm行n列行列Bの間に,∀u;(AB)u=A(Bu)となるよう,(A_ij)(B_ij)=(Σ A_ik*B_kj)と定義される.これは関数の結合と等しい.関数の結合だから結合律は満たせど可換ではない. pic.twitter.com/5lkAaFxoTk

12:49:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

行列と行列の和は,同じ型(同じ行数かつ同じ列数)の行列同士に,∀u;(A+B)u=Au+Buとなるよう,(A_ij)+(B_ij)=(A_ij+B_ij)と定義される.スカラーと行列の積は,∀u;(cA)u=c(Au)となるよう,c(A_ij)=(c*A_ij)と定義される.

12:32:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

線形写像f:V^n→V^mを定める事は,f[(1;…;0)],…,f[(0;…;1)]の結果を定める事と同値.m行n列行列Aを定める事は,A(1;…;0),…,A(0;…;1)を定める事と同値.よってfの適用とAの積は同一視できる.その結果が等しい時,Aをfの表現行列という.

11:31:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

m行n列行列(A_ij)と,n行縦ベクトル(u_i)の積は,m行縦ベクトル(ΣA_ik*u_k)とされる.成分を並べるとこんな感じ.m行n列行列は,線形写像V^n→V^mを表すことになる.(ただしV^nはn行縦ベクトル全体) pic.twitter.com/fF3R15VivP

11:16:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

数ベクトルの線形写像の表現として,行列を作ろう.行列の形は,こうなっている.横の配列を行,縦の配列を列という.この行列を,一般項A_ijのm行n列(m×n)行列といい(A_ij)で表し,A_ijをAのi行j列(i,j)要素という. pic.twitter.com/omn7jIJzXd

11:07:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

【現代文】suugakutanは現代文が大好き☆ だって人間の心を感じてちゃんと考えれば満点取れるんだもん! 数学も対象の気持ちを感じてちゃんと考えればわかるのは同じよ☆☆!! 現代文ができない人間は真の理系じゃないわ!!!!!!!!

11:02:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

数学的帰納法は,周延が完璧なのでもはや演繹法.

10:51:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

恒等写像っていうのは英語ではidentity functionって言って,xを受け取りxを返す関数,id:x↦xだね.特にid_M:M→Mと書くけれど細かい場面で無い限り単にidと書いて良い.idは任意の写像fについてf○id=id○f=fだから関数の結合についての単位元.

10:28:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

元日には西暦を素因数分解して一喜一憂する場面が見られるね.無意味?そうでもないよ.例えば1997年JMO予選問10.これは1997が素数だと意識にあり剰余体を知っていれば1分で解け,そうでなければ恐らく解けない問題.JMOは毎年明けすぐにあって,やけに西暦を使ってくる.

09:18:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

個々の事象の観察を根拠として,命題の成立を結論するのが帰納,induction.周延が完璧でない帰納で導かれた結論は演繹と違って,あくまでその命題の成立の蓋然性が高いというだけで例外が存在しうる.

09:15:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

整序関係「aはbを割り切る」はよく「a|b」って書かれるけど,順序関係に左右対称記号使うのが嫌だから,私は多少紛らわしくても「a⊏b」と書く.
(ℕ,⊏)は,1を最小元,0を最大元,素数を原子元とする束をなし,⊓は最大公約数,⊔は最小公倍数を意味する(かっこいい).

08:32:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

束の最小元は0や⊥と書かれ,最大元は1や⊤と書かれる.
また,a<b かつ ∄c;a<c<bの時,bはaを覆うという.
最小元を持つ束について,⊥を覆う元を原子元という.さらに最小元以外の任意の元が原子元の合併で表せる束を原子束という.

07:45:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

順序集合の準同型写像とは,x≦y ⇒ φ[x]≦φ[y] なるφのことで,同調写像や単調写像ともいう.逆も成り立つ場合,φは単射になる(逆は不成立)のでφを順序単射ともいう.全単射なら順序同型写像ね.
さて,束準同型写像⇒単調写像を示して(逆は不成立).

06:48:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

順序集合(S,≦)が必ずinf{x,y}とsup{x,y}を持つとする.inf{x,y}をx∧y,sup{x,y}をx∨yと書くことにすると…?そう,(L,∧,∨)は束をなす.
逆にx≦y⇔x∧y=x⇔x∨y=yで束から順序集合を作ることもできる.このように深い関係があるんだ.

06:47:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

束(L,∧,∨)で,さらに
分配律 (x∨y)∧z=(x∧z)∨(y∧z), (x∧y)∨z=(x∨z)∧(y∨z)
が成り立つ時,分配束という.

06:43:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

集合L上に演算∧,∨が定義され,
巾等律 x∧x=x∨x=x
交換律 x∧y=y∧x, x∨y=y∨x
結合律 (x∧y)∧z=x∧(y∧z), (x∨y)∨z=x∨(y∨z)
吸収律 (x∧y)∨x=x, (x∨y)∧x=x
が成り立つ時,これを束(lattice)と言う.

06:38:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

上限があるとか有界であるとか完備であるとか言う時は,必ずそれがどの集合の部分集合としての性質なのか注意しよう.そこがごっちゃになっていたら議論についていけないし,ましてやZornの補題とかのそこを間違えて使ったらと思うと…

06:33:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

順序集合(S,≦)の,上界を持つ任意の部分順序集合がS内に上限を持つ時,Sは上に完備と言う.下に完備はその反対.
でも実は,上完備と下完備は同値(証明して)なので,ひっくるめて単に完備と言う.
例えば,ℝやℕは完備で,ℚは完備でない.

06:20:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

順序集合(S,≦)とその部分集合(M,≦)について,
∀x∈M,x≦a なるa∈SをMの上界という.上界が存在する時,上有界という.
上界の集合の最小元を上限といい,supと書く.
下界,下有界,infはその逆ね.上有界かつ下有界を有界という.
例えばsup(2~3)=3.

05:44:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

twitter.com/suugakutan/sta…
≦という記号を使ったせいで「最大元と極大元って同じじゃ…」と思った人がいるかも.ここの≦はあくまで半順序なので¬(a<b) ⇔ (b≦a)ではない.全順序ならそう同じになるんだけどね.まあ半順序でも最大元は極大元の1つ.

05:34:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

順序集合(S,≦)について,a<bはa≦b∧a≠bで定められる.
∀x∈S; x≦a なるaを最大元といいmaxSと書く(存在するならば一意なので).最小元minはその逆.
∄x∈S; a<x なるaを極大元という(一意とは限らない).極小元はその逆.

05:19:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

関係≦について,a≦b∨b≦aの時,aとbは比較可能という.
半順序集合(S,≦)のいずれの2元も比較可能な時,(S,≦)を全順序集合や鎖という.
例えば,普通の実数の≦は全順序.

05:15:01
suugakutan

数学たん @suugakutan

集合S上の関係≦が,
反射律 a≦a
推移律 a≦b,b≦c⇒a≦c
反対称律 a≦b,b≦a⇒a=b
を満たすとき,(S,≦)を(半)順序集合という.
例えば一般の集合の包含関係⊂は半順序.

04:18:00
suugakutan

数学たん @suugakutan

共通部分を持つ集合A,Bについても|A⊎B|=|A|+|B|が成り立つよう直和を定義したい.そのためには,例えば('ω')∉A,Bなる物体('ω')を使って,A⊎B = A×{('ω')} ⊎ {('ω')}×B とでもすればよい.

04:13:01
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